Kamis, 30 November 2017

STATISTIKA


          A.    Pengertian Dasar Statistika
1.      Memahami Statistika, Statistik, Populasi dan Sempel
·      Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang cara-cara pengumpulan data, pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data serta penarikan kesimpulan.
·    Statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk bilangan / agka dan disajikan dalam bentuk table atau diagram sehingga dapat menggambarkan suatu masalah.
·         Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.
·         Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diteliti.

2.      Data dan Jenis-Jenis Data
Data Data adalah sekumpulan informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Unsur-unsur dari data disebut datum.

 

Jenis data menurut bentuknya dibagi menjadi dua macam:
·         Data kualitatif adalah data kategori. Misal: rusak, baik, senang, puas.
·     Data kuantitatif adalah data berbentuk bilangan. Misal: data berat badan, banyak siswa dll.
Jenis data menurut cara memperolehnya dibagi menjadi dua macam:
·     Data ukuran ( kontinu) yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misal: tinggi menara 30 m, berat badan 50 kg dll.
·      Data cacahan ( deskrit) yaitu data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misal: jumlah mahasiswa III matematika malam ada 12 orang, SMA 13 mempunyai 20 ruang kelas.
 
       B.     Ukuran Pemusatan Data
a.     Memahami Rataan Hitung ( Mean)
Mean adalah rata-rata hitung ( mean aritmatika).
(i)     Rataan Hitung dari data tunggal
            
  Contoh:
  Tentukan rataan hitung dari data:  9  8  4  12  6  9  5  3 
  Jawab: 
                                      
 





(ii)   Mean Data Berbobot
Untuk Mean Data Berbobot dapat dihitung sebagai berikut :
Contoh 14
Tentukan Mean dari data berikut :
Nilai ulangan matematika siswa kelas 3P1
Nilai
5     6     7     8      9   
Frekuensi
6     8    13   10     3

Jawab :
Untuk menentukan meannya maka tabel tersebut diubah dan dilengkapi seperti berikut :
Nilai (x)
f
f.x
5
6
30
6
8
48
7
13
91
8
10
80
9
3
27
Jumlah
40
276
Nilai rata-rata (mean) ulangan matematika kelas 3P1 adalah: 

(iii)  Mean Data Berkelompok
Secara umum data berkelompok dapat dihitung sebagai berikut :
                        f = frekuensi
                        x = data (nilai tengah kelas)




 
                          Contoh 15
   Hitunglah mean dari data berikut :
   Berat Badan 50 siswa SMK 
Berat
F
47 – 49
10
50 – 52
12
53 – 55
15
56 – 58
8
59 – 62
5
Jumlah
50
   Jawab
   Tabel frekuensi tersebut di atas harus dilengkapi sebagai berikut :
Berat
f
Titik tengah (x)
f.x
47 – 49
10
48
480
50 – 52
12
51
612
53 – 55
15
54
810
56 – 58
8
57
456
59 – 62
5
60
300
Jumlah
50

2.658

           





Cara lain untuk menghitung mean data berkelompok adalah dengan menggunakan rata-rata sementara atau rata-rata duga kemudian dihitung dengan rumus :


 
Contoh 16
Pada contoh 15 jika dihitung dengan menggunakan rata-rata sementara dengan mengambil nilai rata-rata sementara X0 = 54 adalah sebagai berikut :
Berat
F
Titik tengah (x)
Defiasi(d)
f.d
47 – 49
10
48
-6
-60
50 – 52
12
51
-3
-36
53 – 55
15
54
0
0
56 – 58
8
57
3
24
59 – 62
5
60
6
30
Jumlah
50


-42
                 
 






 Keterangan :
-   sebaiknya pemilihan rata-rata sementara ditempatkan pada kelas yang    frekuensinya terbanyak dan letaknya di tengah.
-        Rata-rata sementara merupakan titik tengah interval pada kelas interval dimana   deviasinya atau simpangannya 0.
-   Menetukan deviasi berarti menentukan bilangan yang menunjukkan       penyimpangan dari nilai rata-rata sementara.

Untuk memudahkan cara menghitung mean data berkelompok seperti di atas dapat dilakukan dengan memfaktorkan interval kelasnya (i), sehingga dalam menentukan deviasi kita tinggal memperhatikan nilai rata-rata sementara (Xo) yang defiasinya 0, dan untuk kelas di atasnya deviasinya berturut-turut adalah : -1, -2, -3 dan seterusnya, sedangkan kelas di bawah nilai deviasinya bertambah 1 sehingga berturut-turut menjadi : +1, +2, +3, …….
                        Dengan demikian rata-rata hitungnya dihitung sebagai berikut :
                      



 




Cara menghitung mean yang demikian disebut cara koding.
Contoh 17
Jika diselesaikan dengan cara koding data di atas menjadi sebagai berikut :
Berat
F
Titik tengah (x)
u
Fu
47 – 49
10
48
-2
-20
50 – 52
12
51
-1
-12
53 – 55
15
54
0
0
56 – 58
8
57
1
8
59 – 62
5
60
2
10
Jumlah
50


-19

                            


b.      Median.
Median dari sekumpulan bilangan/data adalah bilangan atau data yang ditengah-tengah setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.
(i)     Median Data Tunggal
Contoh 18
Tentukan median dari :
a) 8, 5, 6, 3, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 5
b) 8, 5, 7, 9, 2, 1
Jawab :
Sebelum menentukan median data harus diurutkan menjadi :
a) 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8
     mediannya adalah 5
b) 1, 2, 5, 7, 8, 9
   

(ii)   Median Data Berbobot.
Untuk menentukan median data berbobot sebaiknya menggunakan tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari atau sama dengan. Tabel ini selain untuk menunjukkan jumlah komulatif data sampai nilai tertentu, juga sekaligus bisa untuk mengetahui posisi data (urutan data).

                               Contoh 19
Hitunglah nilai median dari data berikut :
Nilai ulangan matematika kelas 3P1
Nilai
5     6     7     8      9   
Frekuensi
6     8    13   10     3

Jawab:
Dibuat tabel frekuensi komulatif sebagai berikut :
Nilai
f
F kom ≤
Urutan
5
6
6
1 – 6
6
8
14
7 – 14
7
13
27
15 – 27
8
10
37
28 – 37
9
3
40
38 – 40
Karena jumlah datanya 40 maka mediannya terletak antara data pada urutan ke 20 dan ke 21 sehingga
                             
 
(iii) Median Data Berkelompok.
Untuk menentukan median data berkelompok ikuti langkah-langkah sebagai berikut :
-          Buatlah tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari.
-          Tentukan letak kelas median, dengan perhitungan :
Letak kelas median = n,           n = banyaknya data.
-          hitung median dengan rumus :
Text Box: Median = Tb +   



= letak kelas median
Tb = tepi bawah kelas median
fka = frekuensi komulatif kelas di atasnya.
 
i = panjang interval kelas


Contoh 20
Hitunglah median dari data tentang berat badan 50 siswa SMK  pada contoh 15 di atas !
Jawab :
Berat
F
F. kumulatif
47 – 49
10
10
50 – 52
12
22
53 – 55
15
37
56 – 58
8
45
59 – 62
5
50
Jumlah
50


Letak kelas median =
                             =
                             = 25 (kelas ke-3)
Tb3 = 53,5
fka = 22
fmed = 15
i = 3
maka median = 53,5 +
                = 53,5 + 0,6
                       = 54,1
c.       Modus
Modus dari sekumpulan data (bilangan )adalah data yang paling banyak muncul atau data yang mempunyai frekuensi terbanyak.
(i)        Modus Data Tunggal
       Contoh 21
Tentukan modus dari :
 
a) 8, 5, 6, 3, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 5
b) 8, 6, 5, 3, 6, 5, 6, 2, 5
c) 8, 6, 5, 6, 5, 8, 6, 8, 5
d) 2, 4, 3, 5, 7, 6
Jawab :
a) Modus = 6
b) Modus = 6 dan 5
c) tidak ada modus
d) tidak ada modus

(ii)      Modus Data Berbobot
Contoh 22
Tentukan modus dari data tentang ulangan matematika kelas 3P1 pada contoh 19 di atas.
Jawab :

Nilai
f
5
6
6
8
7
13
8
10
9
3

Modus = 7 (mempunyai frekuensi paling banyak)

(iii)    Modus Data Berkelompok
untuk menentukan modus data berkelompok dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
·         Menentukan kelas modus : yaitu kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi.

·         Menghitung modus dengan rumus :

 
Text Box: Modus = Tb +      


Tb = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
Contoh 23
Hitunglah median dari data tentang berat badan 50 siswa SMK SAWOJAJAR pada contoh 15 di atas !
Jawab :
Berat
F
47 – 49
10
50 – 52
12
53 – 55
15
56 – 58
8
59 – 62
5
Jumlah
50









Kelas modus adalah kelas ke-3 :
Tb = 52,5
d1 = 15 – 12 = 3
d2 = 15 – 8 = 7
Nilai Modus = 52,5 +
              = 52,5 + 0,9
              = 53,4

            C.    Ukuran Penyebaran Data
a.      Range (Jangkauan)
Range dari sekumpulan bilangan adalah selisih antara bilangan tertinggi (maksimum) dengan bilangan terendah (minimum).
Contoh 24

 
                   Tentukan range dari : 5, 6, 3, 4, 7, 19, 10, 11
Jawab :
Nilai tertinggi = 19
Nilai terendah = 3
Range = 19 – 3 = 16
Untuk menentukan range data berkelompok ada dua cara yaitu :
i) range adalah titik tengah dari kelas yang tertinggi dikurangi titik tengah dari nilai terendah .
ii) range adalah batas atas nyata (tepi atas) dari kelas tertinggi dikurangi batas bawah nyata (tepi bawah dari kelas terendah.
Contoh 25
Tentukan range dari data berikut :
Nilai
Frekuensi
50 – 52
5
53 – 55
18
56 – 58
42
59 – 61
27
62 – 64
8

Dengan cara i)
Range = 63 – 51 = 12
dengan cara ii)
Range = 64,5 – 49,5 = 15

b.      Simpangan Rata-rata
     Simpangan rata-rata adalah ukuran disfersi yang menyatakan penyebaran nilai-nilai (data) terhadap rata-ratanya.
(i)   Simpangan Rata-rata Data Tunggal
 Jika sekelompok bilangan-bilangan adalah : x1, x2, x3, x4, ….,xn
dan rata-ratanya =
 maka simpangan rata-rata :

 
SR =
      =
Text Box: SR =  Jadi simpangan rata-rata data tunggal :


Contoh 26
Tentukan simpangan rata-rata dari : 7, 5, 6, 2
Jawab :
  =
      = = 5
SR =
      =
      =
      = 1,5

(ii) Simpangan Rata-rata Data Berbobot
simpangan rata-rata untuk data berbobot dapat dihitung dengan rumus :
Text Box: SR =   


Contoh 28
Hitunglah simpangan rata-rata dari data berikut :
Ulangan matematika kelas 3P1
Nilai

5      6      7      8       9
Frekuensi
6      8     13     10     3





Jawab :
Nilai (x)
f
f.x
f
5
6
30
1,9
11,4
6
8
48
0,9
7,2
7
13
91
0,1
1,3
8
10
80
1,1
11
9
3
27
2,1
6,3
Jumlah
40
276

37,2

 =
     = 6,9
SR =
      = 0,93


(iii) Simpangan Rata-rata Data Berkelompok
Simpangan rata-rata data berkelompok pada hakekatnya dapat dihitung dengan rumus yang sama dengan data berbobot yaitu :
Text Box: SR =   



Contoh 28
Pada tabel berikut ini diketahui rata-ratanya 53,46. tentukan simpangan rata-ratanya !
Berat Badan 50 siswa
Berat
fekuensi
47 – 49
10
50 – 52
12
53 – 55
14
 
15
56 – 58
8
59 – 62
5
Jumlah
50
Jawab :
Tabel di atas dilengkapi sebagai berikut :
Berat
f
x
f
47 – 49
10
48
5,46
54,6
50 – 52
12
51
2,46
29,52
53 – 55
15
54
0,54
8,1
56 – 58
8
57
3,54
28,32
59 – 62
5
60
6,54
32,7
Jumlah
50


153,24

SR =
      = 3,06

c.       Simpangan Baku / Deviasi Standar
     Simpangan baku suatu rangkaian data atau bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan / jumlah frekuensi, atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.
Text Box:  

Secara statistik dirumuskan sebagai berikut :



Rumus tersebut selanjutnya dapat disederhanakan menjadi :


Text Box:
 




 
                   data yang telah disusun dalam tabel frekuensi ( data berbobot atau data                         
                   berkelompok),  simpangan baku dihitung dengan rumus sebaga berikut :


Text Box:
 



Atau disederhanakan menjadi :
Text Box:  

Text Box:  

                                        
                                   Atau
Catatan : d = deviasi

Contoh 29
Tentukan simpangan baku dari : 7, 5, 6, 2
Jawab :
 =
     = 5
s =
   =
   =
   =
   = 1,87

Contoh 30
Tentukan simpangan baku dari data Berat Badan Siswa SMK  dari contoh 15 !
Jawab :
Berat
f
x
x -
(x - ) 2
F (x - ) 2
47 – 49
10
48
-5,46
29,81
298,1
50 – 52
12
51
-2,46
6,05
72,6
53 – 55
15
54
0,54
0,31
4,65
56 – 58
8
57
3,54
12,53
100,24
59 – 62
5
60
6,54
42,77
16
 
213,85
Jumlah
50



689,44
S  =
   =
   = 3,7

Atau dapat dihitung sebagai berikut :
Berat
f
d
fd
d 2
fd 2
47 – 49
10
-6
-60
36
360
50 – 52
12
-3
-36
9
108
53 – 55
15
0
0
0
15
56 – 58
8
3
24
9
72
59 – 62
5
6
30
36
180
Jumlah
50

-42

720

s =
   =
   =
   = 3,7
d.      Simpangan Quartil
Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama setelah data-data itu diurutkan dengan garis bilangan dapat ditunjukkan sebagai bertikut :


 
  X1                    Q1                    Q2                     Q3                   Xn
X1 = nilai minimum
Q1 = kuartil bawah (kuartil pertama)
Q2 = kuartil tengah (kuartil ke dua)
Q3 = kuartil atas (kuartil ke tiga)

 
Xn = nilai maksimum
Jangkauan semi inter kuartil atau simpangan kuartil (Qd) didefinisikan sebagai  berikut :


Text Box: Qd =  (Q3 – Q1)
 



i) Simpangan Kuartil Data Tunggal
Untuk menentukan nilai kuartil langkah – langkahnya sama dengan menentukan median, yang berbeda adalah letaknya saja.
Text Box: Qi =  (n + 1)
   i = 1, 2, 3
   n = banyaknya data.

 
Letak kuartil data tunggal ditentukan dengan rumus :


Contoh 31
Tentukan simpangan kuartil dari
a) 5, 17, 8, 13, 12, 10, 15
b) 25, 27, 24, 22, 20, 18
Jawab :
a) setelah diurutkan data menjadi 5, 8, 10, 12, 13, 15, 17
letak Q1 = (7+1)
               =  2
Artinya nilai Q1 adalah data nomor urut 2 (suku ke-2)
sehingga nilai Q1 = 8
letak Q3 = (7+1)
               = 6
Artinya nilai Q3 adalah suku ke-6
Jadi nilai Q3 = 15
Simpangan kuartil :
Qd = (15-8)
       = 3,5
b) setelah diurutkan menjadi : 18, 20, 22, 24, 25, 27
letak Q1 = (6+1)

 
               =  1
Artinya Q1 terletak pada suku pertama ditambah kali selisih antara suku pertama dan ke-2
Nilai Q1 = 18 + (20-18)
        = 18 + 1,5
        = 19,5
letak Q3 = (6+1)
               = 5
Artinya Q3 terletak pada suku ke-5 ditambah kali selisih antara suku ke-6 dan suku ke-5
Jadi nilai Q3 = 25 + (27-25)
                      = 25 +
     = 25,5
Sehingga Qd = (25,5 – 19,5)
                     = 3



Contoh 32
Tentukan simpangan kuartil dari :
Nilai
Frekuensi
6
2
6,5
3
7
6
7,5
4
8
3
9
2

Jawab:

 
Untuk menentukan nilai kuartil data tersebut, terlebih dahulu dibuat tabel frekuensi komulatif sebagai berikut :
Nilai
Frekuensi
F kom ≤
6
2
2
6,5
3
5
7
6
11
7,5
4
15
8
3
18
9
2
20
Letak Q1 = (20+1)
                = 5
Nilai Q1  = 6,5 + (7- 6,5)
                = 6,5 + 0,125
                = 6,625
Letak Q3 = (20+1)
                = 15
Nilai Q3  = 7,5 + (8-7,5)
                = 7,5 + 0,375
                = 7,875

 







Qd = ( 7,875-6,625)
      = (8,55)
      =  4,275






















 
 
BAB III
PENUTUP
A.    Kesimpulan
-     Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang cara-cara pengumpulan data, pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data serta penarikan kesimpulan.
-       Statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk bilangan / agka dan disajikan dalam bentuk table atau diagram sehingga dapat menggambarkan suatu masalah.
-          Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.
-          Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diteliti.
Statistika terbagi atas:


1.  Ukuran pemusatan data.
o   Mean
o   Median
o   Modus
o   Quartil
2.  Ukuran penyebaran data.
o   Simpangan baku
o   Simpangan rata-rata
o   Varian
o   Simpangan quartil
o   Hamparan/jangkauan interkuartil
o   Jangkauan

B.     Saran

 
Saya membuat makalah ini untuk  pembelajaran bersama. Saya mengambil dari berbagai sumber, jadi apabila pembaca menemukan kesalahan dan kekurangan, maka kami sarankan untuk mencari referensi yang lebih baik. Apabila pembaca merasa ada kekurangan dapat membaca buku yang menjadi referensi secara lengkap.



DAFTAR PUSTAKA

Fardi, Adnan, dkk. 2012. Silabus dan Hand-Out Mata Kuliah Statistik. Padang : UNP
Bogdan, Robert, C., Biklen, Sari, K. 1998. Qualitative Research in Education, an  Introduction toTheory and Methods, Third Edition, Boston, Allyn and Bacon.






 

MENGGAMBAR LUAS DAERAH DAN VOLUME BENDA PUTAR MENGGUNAKAN APLIKASI AUTOGRAPH

Cara menggambar luas daerah dan volume benda putar menggunakan software Autograph, berikut langkah-langkahnya : Buka program Autogr...