STATISTIKA

          A.    Pengertian Dasar Statistika

1.      Memahami Statistika, Statistik, Populasi dan Sempel

·      Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang cara-cara pengumpulan data, pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data serta penarikan kesimpulan.

·    Statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk bilangan / agka dan disajikan dalam bentuk table atau diagram sehingga dapat menggambarkan suatu masalah.

·         Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.

·         Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diteliti.

2.      Data dan Jenis-Jenis Data

Data Data adalah sekumpulan informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Unsur-unsur dari data disebut datum.

 

Jenis data menurut bentuknya dibagi menjadi dua macam:

·         Data kualitatif adalah data kategori. Misal: rusak, baik, senang, puas.

·     Data kuantitatif adalah data berbentuk bilangan. Misal: data berat badan, banyak siswa dll.

Jenis data menurut cara memperolehnya dibagi menjadi dua macam:

·     Data ukuran ( kontinu) yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misal: tinggi menara 30 m, berat badan 50 kg dll.

·      Data cacahan ( deskrit) yaitu data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misal: jumlah mahasiswa III matematika malam ada 12 orang, SMA 13 mempunyai 20 ruang kelas.
 

B.     Ukuran Pemusatan Data

a.     Memahami Rataan Hitung ( Mean)

Mean adalah rata-rata hitung ( mean aritmatika).

(i)     Rataan Hitung dari data tunggal

            

  Contoh:

  Tentukan rataan hitung dari data:  9  8  4  12  6  9  5  3 

  Jawab: 

                                      

 

(ii)   Mean Data Berbobot

Untuk Mean Data Berbobot dapat dihitung sebagai berikut :

Contoh 14

Tentukan Mean dari data berikut :

Nilai ulangan matematika siswa kelas 3P1

Nilai	5     6     7     8      9
Frekuensi	6     8    13   10     3

Jawab :

Untuk menentukan meannya maka tabel tersebut diubah dan dilengkapi seperti berikut :

Nilai (x)	f	f.x
5	6	30
6	8	48
7	13	91
8	10	80
9	3	27
Jumlah	40	276

Nilai rata-rata (mean) ulangan matematika kelas 3P1 adalah: 

(iii)  Mean Data Berkelompok

Secara umum data berkelompok dapat dihitung sebagai berikut :

                        f = frekuensi

                        x = data (nilai tengah kelas)

                          Contoh 15

   Hitunglah mean dari data berikut :

   Berat Badan 50 siswa SMK 

Berat	F
47 – 49	10
50 – 52	12
53 – 55	15
56 – 58	8
59 – 62	5
Jumlah	50

   Jawab

   Tabel frekuensi tersebut di atas harus dilengkapi sebagai berikut :

Berat	f	Titik tengah (x)	f.x
47 – 49	10	48	480
50 – 52	12	51	612
53 – 55	15	54	810
56 – 58	8	57	456
59 – 62	5	60	300
Jumlah	50		2.658

           

Cara lain untuk menghitung mean data berkelompok adalah dengan menggunakan rata-rata sementara atau rata-rata duga kemudian dihitung dengan rumus :

Contoh 16

Pada contoh 15 jika dihitung dengan menggunakan rata-rata sementara dengan mengambil nilai rata-rata sementara X₀ = 54 adalah sebagai berikut :

Berat	F	Titik tengah (x)	Defiasi(d)	f.d
47 – 49	10	48	-6	-60
50 – 52	12	51	-3	-36
53 – 55	15	54	0	0
56 – 58	8	57	3	24
59 – 62	5	60	6	30
Jumlah	50			-42

                 

 

 Keterangan :

-   sebaiknya pemilihan rata-rata sementara ditempatkan pada kelas yang    frekuensinya terbanyak dan letaknya di tengah.

-        Rata-rata sementara merupakan titik tengah interval pada kelas interval dimana   deviasinya atau simpangannya 0.

-   Menetukan deviasi berarti menentukan bilangan yang menunjukkan       penyimpangan dari nilai rata-rata sementara.

Untuk memudahkan cara menghitung mean data berkelompok seperti di atas dapat dilakukan dengan memfaktorkan interval kelasnya (i), sehingga dalam menentukan deviasi kita tinggal memperhatikan nilai rata-rata sementara (Xo) yang defiasinya 0, dan untuk kelas di atasnya deviasinya berturut-turut adalah : -1, -2, -3 dan seterusnya, sedangkan kelas di bawah nilai deviasinya bertambah 1 sehingga berturut-turut menjadi : +1, +2, +3, …….

                        Dengan demikian rata-rata hitungnya dihitung sebagai berikut :

                      

 

Cara menghitung mean yang demikian disebut cara koding.

Contoh 17

Jika diselesaikan dengan cara koding data di atas menjadi sebagai berikut :

Berat	F	Titik tengah (x)	u	Fu
47 – 49	10	48	-2	-20
50 – 52	12	51	-1	-12
53 – 55	15	54	0	0
56 – 58	8	57	1	8
59 – 62	5	60	2	10
Jumlah	50			-19

                            

b.      Median.

Median dari sekumpulan bilangan/data adalah bilangan atau data yang ditengah-tengah setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.

(i)     Median Data Tunggal

Contoh 18

Tentukan median dari :

a) 8, 5, 6, 3, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 5

b) 8, 5, 7, 9, 2, 1

Jawab :

Sebelum menentukan median data harus diurutkan menjadi :

a) 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8

     mediannya adalah 5

b) 1, 2, 5, 7, 8, 9

   

(ii)   Median Data Berbobot.

Untuk menentukan median data berbobot sebaiknya menggunakan tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari atau sama dengan. Tabel ini selain untuk menunjukkan jumlah komulatif data sampai nilai tertentu, juga sekaligus bisa untuk mengetahui posisi data (urutan data).

                               Contoh 19

Hitunglah nilai median dari data berikut :

Nilai ulangan matematika kelas 3P1

Nilai	5     6     7     8      9
Frekuensi	6     8    13   10     3

Jawab:

Dibuat tabel frekuensi komulatif sebagai berikut :

Nilai	f	F kom ≤	Urutan
5	6	6	1 – 6
6	8	14	7 – 14
7	13	27	15 – 27
8	10	37	28 – 37
9	3	40	38 – 40

Karena jumlah datanya 40 maka mediannya terletak antara data pada urutan ke 20 dan ke 21 sehingga

                             

 

(iii) Median Data Berkelompok.

Untuk menentukan median data berkelompok ikuti langkah-langkah sebagai berikut :

-          Buatlah tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari.

-          Tentukan letak kelas median, dengan perhitungan :

Letak kelas median = n,           n = banyaknya data.

-          hitung median dengan rumus :

 

= letak kelas median

Tb = tepi bawah kelas median

fka = frekuensi komulatif kelas di atasnya.

i = panjang interval kelas

Contoh 20

Hitunglah median dari data tentang berat badan 50 siswa SMK  pada contoh 15 di atas !

Jawab :

Berat	F	F. kumulatif
47 – 49	10	10
50 – 52	12	22
53 – 55	15	37
56 – 58	8	45
59 – 62	5	50
Jumlah	50

Letak kelas median =

                             =

                             = 25 (kelas ke-3)

Tb₃ = 53,5

fka = 22

f_med = 15

i = 3

maka median = 53,5 +

                = 53,5 + 0,6

                       = 54,1

c.       Modus

Modus dari sekumpulan data (bilangan )adalah data yang paling banyak muncul atau data yang mempunyai frekuensi terbanyak.

(i)        Modus Data Tunggal

       Contoh 21

Tentukan modus dari :

a) 8, 5, 6, 3, 6, 1, 6, 2, 4, 7, 5

b) 8, 6, 5, 3, 6, 5, 6, 2, 5

c) 8, 6, 5, 6, 5, 8, 6, 8, 5

d) 2, 4, 3, 5, 7, 6

Jawab :

a) Modus = 6

b) Modus = 6 dan 5

c) tidak ada modus

d) tidak ada modus

(ii)      Modus Data Berbobot

Contoh 22

Tentukan modus dari data tentang ulangan matematika kelas 3P1 pada contoh 19 di atas.

Jawab :

Nilai	f
5	6
6	8
7	13
8	10
9	3

Modus = 7 (mempunyai frekuensi paling banyak)

(iii)    Modus Data Berkelompok

untuk menentukan modus data berkelompok dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

·         Menentukan kelas modus : yaitu kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi.

·         Menghitung modus dengan rumus :

    

Tb = tepi bawah kelas modus

d₁ = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.

d₂ = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

Contoh 23

Hitunglah median dari data tentang berat badan 50 siswa SMK SAWOJAJAR pada contoh 15 di atas !

Jawab :

Berat	F
47 – 49	10
50 – 52	12
53 – 55	15
56 – 58	8
59 – 62	5
Jumlah	50

Kelas modus adalah kelas ke-3 :

Tb = 52,5

d₁ = 15 – 12 = 3

d₂ = 15 – 8 = 7

Nilai Modus = 52,5 +

              = 52,5 + 0,9

              = 53,4

            C.    Ukuran Penyebaran Data

a.      Range (Jangkauan)

Range dari sekumpulan bilangan adalah selisih antara bilangan tertinggi (maksimum) dengan bilangan terendah (minimum).

Contoh 24

                   Tentukan range dari : 5, 6, 3, 4, 7, 19, 10, 11

Jawab :

Nilai tertinggi = 19

Nilai terendah = 3

Range = 19 – 3 = 16

Untuk menentukan range data berkelompok ada dua cara yaitu :

i) range adalah titik tengah dari kelas yang tertinggi dikurangi titik tengah dari nilai terendah .

ii) range adalah batas atas nyata (tepi atas) dari kelas tertinggi dikurangi batas bawah nyata (tepi bawah dari kelas terendah.

Contoh 25

Tentukan range dari data berikut :

Nilai	Frekuensi
50 – 52	5
53 – 55	18
56 – 58	42
59 – 61	27
62 – 64	8

Dengan cara i)

Range = 63 – 51 = 12

dengan cara ii)

Range = 64,5 – 49,5 = 15

b.      Simpangan Rata-rata

     Simpangan rata-rata adalah ukuran disfersi yang menyatakan penyebaran nilai-nilai (data) terhadap rata-ratanya.

(i)   Simpangan Rata-rata Data Tunggal

 Jika sekelompok bilangan-bilangan adalah : x₁, x₂, x₃, x₄, ….,x_n

dan rata-ratanya =

 maka simpangan rata-rata :

SR =

      =

Jadi simpangan rata-rata data tunggal :

Contoh 26

Tentukan simpangan rata-rata dari : 7, 5, 6, 2

Jawab :

  =

      = = 5

SR =

      =

      =

      = 1,5

(ii) Simpangan Rata-rata Data Berbobot

simpangan rata-rata untuk data berbobot dapat dihitung dengan rumus :

 

Contoh 28

Hitunglah simpangan rata-rata dari data berikut :

Ulangan matematika kelas 3P1

Nilai	5      6      7      8       9
Frekuensi	6      8     13     10     3

Jawab :

Nilai (x)	f	f.x		f
5	6	30	1,9	11,4
6	8	48	0,9	7,2
7	13	91	0,1	1,3
8	10	80	1,1	11
9	3	27	2,1	6,3
Jumlah	40	276		37,2

 =

     = 6,9

SR =

      = 0,93

(iii) Simpangan Rata-rata Data Berkelompok

Simpangan rata-rata data berkelompok pada hakekatnya dapat dihitung dengan rumus yang sama dengan data berbobot yaitu :

 

Contoh 28

Pada tabel berikut ini diketahui rata-ratanya 53,46. tentukan simpangan rata-ratanya !

Berat Badan 50 siswa

Berat	fekuensi
47 – 49	10
50 – 52	12
53 – 55	14   15
56 – 58	8
59 – 62	5
Jumlah	50

Jawab :

Tabel di atas dilengkapi sebagai berikut :

Berat	f	x		f
47 – 49	10	48	5,46	54,6
50 – 52	12	51	2,46	29,52
53 – 55	15	54	0,54	8,1
56 – 58	8	57	3,54	28,32
59 – 62	5	60	6,54	32,7
Jumlah	50			153,24

SR =

      = 3,06

c.       Simpangan Baku / Deviasi Standar

     Simpangan baku suatu rangkaian data atau bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan / jumlah frekuensi, atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

Secara statistik dirumuskan sebagai berikut :

Rumus tersebut selanjutnya dapat disederhanakan menjadi :

 

                   data yang telah disusun dalam tabel frekuensi ( data berbobot atau data                         
                   berkelompok),  simpangan baku dihitung dengan rumus sebaga berikut :

 

Atau disederhanakan menjadi :

                                        

                                   Atau

Catatan : d = deviasi

Contoh 29

Tentukan simpangan baku dari : 7, 5, 6, 2

Jawab :

 =

     = 5

s =

   =

   =

   =

   = 1,87

Contoh 30

Tentukan simpangan baku dari data Berat Badan Siswa SMK  dari contoh 15 !

Jawab :

Berat	f	x	x -	(x - ) 2	F (x - ) 2
47 – 49	10	48	-5,46	29,81	298,1
50 – 52	12	51	-2,46	6,05	72,6
53 – 55	15	54	0,54	0,31	4,65
56 – 58	8	57	3,54	12,53	100,24
59 – 62	5	60	6,54	42,77	16   213,85
Jumlah	50				689,44

S  =

   =

   = 3,7

Atau dapat dihitung sebagai berikut :

Berat	f	d	fd	d 2	fd 2
47 – 49	10	-6	-60	36	360
50 – 52	12	-3	-36	9	108
53 – 55	15	0	0	0	15
56 – 58	8	3	24	9	72
59 – 62	5	6	30	36	180
Jumlah	50		-42		720

s =

   =

   =

   = 3,7

d.      Simpangan Quartil

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama setelah data-data itu diurutkan dengan garis bilangan dapat ditunjukkan sebagai bertikut :

 

  X₁                    Q₁                    Q₂                     Q₃                   Xn

X₁ = nilai minimum

Q₁ = kuartil bawah (kuartil pertama)

Q₂ = kuartil tengah (kuartil ke dua)

Q₃ = kuartil atas (kuartil ke tiga)

Xn = nilai maksimum

Jangkauan semi inter kuartil atau simpangan kuartil (Qd) didefinisikan sebagai  berikut :

 

i) Simpangan Kuartil Data Tunggal

Untuk menentukan nilai kuartil langkah – langkahnya sama dengan menentukan median, yang berbeda adalah letaknya saja.

i = 1, 2, 3    n = banyaknya data.

Letak kuartil data tunggal ditentukan dengan rumus :

Contoh 31

Tentukan simpangan kuartil dari

a) 5, 17, 8, 13, 12, 10, 15

b) 25, 27, 24, 22, 20, 18

Jawab :

a) setelah diurutkan data menjadi 5, 8, 10, 12, 13, 15, 17

letak Q₁ = (7+1)

               =  2

Artinya nilai Q₁ adalah data nomor urut 2 (suku ke-2)

sehingga nilai Q₁ = 8

letak Q₃ = (7+1)

               = 6

Artinya nilai Q₃ adalah suku ke-6

Jadi nilai Q₃ = 15

Simpangan kuartil :

Qd = (15-8)

       = 3,5

b) setelah diurutkan menjadi : 18, 20, 22, 24, 25, 27

letak Q₁ = (6+1)

               =  1

Artinya Q₁ terletak pada suku pertama ditambah kali selisih antara suku pertama dan ke-2

Nilai Q₁ = 18 + (20-18)

        = 18 + 1,5

        = 19,5

letak Q₃ = (6+1)

               = 5

Artinya Q₃ terletak pada suku ke-5 ditambah kali selisih antara suku ke-6 dan suku ke-5

Jadi nilai Q₃ = 25 + (27-25)

                      = 25 +

     = 25,5

Sehingga Qd = (25,5 – 19,5)

                     = 3

Contoh 32

Tentukan simpangan kuartil dari :

Nilai	Frekuensi
6	2
6,5	3
7	6
7,5	4
8	3
9	2

Jawab:

Untuk menentukan nilai kuartil data tersebut, terlebih dahulu dibuat tabel frekuensi komulatif sebagai berikut :

Nilai	Frekuensi	F kom ≤
6	2	2
6,5	3	5
7	6	11
7,5	4	15
8	3	18
9	2	20

Letak Q1 = (20+1)                 = 5 Nilai Q1  = 6,5 + (7- 6,5)                 = 6,5 + 0,125                 = 6,625 Letak Q3 = (20+1)                 = 15 Nilai Q3  = 7,5 + (8-7,5)                 = 7,5 + 0,375                 = 7,875

Qd = ( 7,875-6,625)

      = (8,55)

      =  4,275

 

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

-     Statistika adalah ilmu pengetahuan tentang cara-cara pengumpulan data, pengumpulan data, penyusunan data, penyajian data serta penarikan kesimpulan.

-       Statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk bilangan / agka dan disajikan dalam bentuk table atau diagram sehingga dapat menggambarkan suatu masalah.

-          Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti.

-          Sampel adalah sebagian dari populasi yang benar-benar diteliti.

Statistika terbagi atas:

1.  Ukuran pemusatan data.

o   Mean

o   Median

o   Modus

o   Quartil

2.  Ukuran penyebaran data.

o   Simpangan baku

o   Simpangan rata-rata

o   Varian

o   Simpangan quartil

o   Hamparan/jangkauan interkuartil

o   Jangkauan

B.     Saran

Saya membuat makalah ini untuk  pembelajaran bersama. Saya mengambil dari berbagai sumber, jadi apabila pembaca menemukan kesalahan dan kekurangan, maka kami sarankan untuk mencari referensi yang lebih baik. Apabila pembaca merasa ada kekurangan dapat membaca buku yang menjadi referensi secara lengkap.

DAFTAR PUSTAKA

Fardi, Adnan, dkk. 2012. Silabus dan Hand-Out Mata Kuliah Statistik. Padang : UNP

Bogdan, Robert, C., Biklen, Sari, K. 1998. Qualitative Research in Education, an  Introduction toTheory and Methods, Third Edition, Boston, Allyn and Bacon.