SISTEM PERSAMAAN LINIER

A. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Satu Variabel
Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Satu Variabel ini biasanya dipelajari di smp.
Contoh :
1. x > 0. mempunyai nilai persamaan x = 0. Maka daerah himpunan penyelesaian (Hp) adalah :

2. y > 0. mempunyai nilai persamaan y = 0. Maka daerah Hpnya adalah :

3. x < 2. mempunyai persaman x = 2. Maka daerah Hpnya adalah :

4. x > -1. mempunyai persamaan x = -1. Maka daerah Hpnya adalah :

5. 2 < x < 4. mempunyai persamaan x = 2 dan x = 4. Maka daerah Hpnya:

6. -1 < x < 2. mempunyai persamaan x = -1 dan x = 2. Maka Hpnya adalah :

B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua Variabel
Persamaan Linear dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel misal x dan y.
Bentuk persamaan linear dua variabel : ax + by < c, ax + by < c, ax + by > c, dan ax + by > c.

Dalam menentuka Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua Variabel, ada beberapa langkah yang harus kita lakukan, adalah sebagai berikut :

Langkah-Langkah Menentukan Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua Variabel :

1. Gambar gari ax + by = c pada bidang cartesius dengan mencari titik-titik potong gerafik dengan sumbu x ( y = 0 ) dan sumbu y ( x = 0 ). 
2. Ambil sembarang titik P(x₁, y₁) yang bukan terletak pada garis tersebut. kemudian dihitung nilai dari ax₁+ by₁. Nilai ax₁+ by₁ dibandingkan dengan nilai c. 
3. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by < c, ditentukan sebagai berikut :
   – jika daerah ax₁+ by₁ < c. Maka daerah yang memuat P adalah daerah himpunan penyelesaian
   – jika daerah ax₁+ by₁ > c. Maka daerah yang memuat P adalah bukan daerah humpunan penyelesaian. 
4. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by > c, ditentukan sebagai berikut :
   – jika daerah ax₁+ by₁ > c. Maka daerah yang memuat P adalah daerah himpunan penyelesaian
   – jika daerah ax₁+ by₁ < c. Maka daerah yang memuat P adalah bukan daerah humpunan penyelesaian. 
5. Daerah yang bukan merupakan penyelesaian diberikan arsiran, Sehingga daerah penyelesaian ialah daerah tanpa arsiran. Hal ini yang akan mempermudah kita untuk mengenal mana daerah yang merupakan Hp. 
6.  Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama dengan digambarkan dengan garis penuh, sedangkan darah penyelesaian pertidaksamaan yang tidak memuat tanda samaa dengan digambar dengan garis putu-putus.

Contoh :
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari 2x + y < 4 !
Jawab
2x + y < 4
Untuk mencari titik potong sumbu x dan subu y maka kita gunakan tabel berikut :

	x	y
x	2	0
y	0	4

Dengn demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (2,0) dan (0,4)

Kemudian ambil smebarang titik P(0,0) sebagai titik uji pada 2x + y < 4 dan di peroleh 2(0) + 0 < 4.

Maka Hpnya adalah :

C. Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal)

Pengertian Model Matematika 

Model Matematika adalah suatu bentuk kalima matematika yang palin sederhana  dari sebuah soal cerita atau biasanya disebut kalimat verbal matematika.

Mengubah Kalimat Verbal Menjadi Model Matematika dalam Bentuk Sitem Pertidak Samaan.

Dalam perogram linear untuk mengubah kalimat verbal menjadi model matematika kita gunakan tebel berikut :

Variabel	Variabel 1 (x)	Variabel 2 (y)	Persediaan
Variabel 1
Variabel 2
Variabel 3

Contoh :

Untuk membuat roti A 200 gram tepung dan 25 gram mentega, Sedangkan untuk roti B di perlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega hanya 1,2 kg. Jika harga roti A Rp 400,00 dan roti B Rp. 500,00. Buatlah model mateatikanya!

Jawab :

Misalkan banyak roti A = x dan roti B = y, berarti variabel yang lain adalah tepung dan mentega. Sehingga tabelnya adalah :

Variabel	Roti A (x)	Roti B (y)	Persediaan
Tepung	200 gram	100 gram	4000 gram
Mentega	25 gram	50 gram	1200 gram

Tepung dan mentega paling banyak tersedia masing-masing 4 kg = 4000 gram, 1,2 kg = 1200gram, jadi tanda pertidak samaan adalah <, Maka dari tabel di atas dapat kita buat kebentuk pertidaksamaan menjadi :

200x + 100y < 4000, maka apa bila di sederhanakan menjadi 2x + y < 40 (1)

25x+ 50y < 1200,  maka apabila di sederhanakan menjadi x + 2y < 48 (2)

Karena x dan ya adalah bilangan bulat bukan negatif maka :

x > 0 (3)

y > 0 (4)

keempat persamaan di atas merupakan merupakan persyaratan yang harus di penuhi disebut Fungsi Kendala. Harga roti A Rp. 500,00 dan roti B Rp.400,00, maka hasil penjualan dapat dirumuskan dengan Z = 400x + 500y  : Z disebut fungsi objektif atau fungsi sasaran yang dapat dimaksimumkan atau diminimumkan. 

D. Nilai Optimum Dari Sistem Persamaan Linear
Hal terpenting dalalm masalah Program Linear adalah mengubah persoalan verbal kedalam bentuk model matematika yang merupakan dari penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah dimengerti.

Langkah-Langkah Mencari Nilai Optimum :
1. Udah lah persoalan verbal kedalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan
2. Tentukan himpunan penyelesaian (daerah feasible)
3. Tentukan titik pojok pada dearah feasible
4. Hitung nilai bentuk objektif untuk setiap titik pojok dalam daerah feasible.
5. Daerah hasil pada langkah ke-4 nilai maksimum atau minimumnya dapat ditetapkan.

Contoh :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari Z = 5x + 3y, dengan syarat :
x + 2y < 8, x + y < 6, x > 0, dan y > 0.

Jawab :
dikaeranakan soal sudah merupakan kalimat matematika maka kita langsung mencari daerah himpunan penyelesaiannya pada digram cartesius.
Untuk mencari titik potong pertidaksamaan x + 2y < 8 dengan sumbu x dan subu y maka kita ubah pertidak samaan ke dalam persamaan menjadi x + 2y = 8, maka titiknya :

	x	y
x	8	0
y	0	4

(8,0) dan (0,4)

Kemudian Untuk mencari titik potong pertidaksamaan x + y < 6 dengan sumbu x dan subu y maka kita ubah pertidak samaan ke dalam persamaan menjadi x + y = 6, maka titiknya :

	x	y
x	6	0
y	0	6

(6,0) dan (0,6)

lalu gambarnya grafiknya adalah :

Daerah Hp dari x + 2y < 8, x + y < 6, x > 0, dan y > 0

cara mencari titik potongnya yaitu dengan cara meng eleminasi dan mensubstitusi persamaan x + 2y = 8 dan x + y = 6, perhatikan :

 x + 2y = 8

 x +   y = 6-

         y = 2

kita ambil persamaan  x + 2y = 8 untuk mensubstitusi.

x + 2y = 8

x + 2(2) = 8

x + 4 = 8, untuk menyederhanakan kita kurangi kedua ruas dengan 4

x + 4 – 4 = 8 – 4

x = 4

Maka kita peroleh titik potongnya yaitu (4,2)

lalu kita uji tiap titik pojok untuk mencari nilai maksimumnya, lihat tabel di bawah ini :

Titik	x	y	5x + 3y
0 (0,0)	0	0	0
A(6,0)	6	0	30
B(4,2)	4	2	26
C(0,4)	0	4	12

Jadi nilai maksimumnya adalah 30 terjadi untuk x = 6 dan y = 0

E. Garis Selidik 

Garis Selidik ialah garis yang digunakan untuk menyelidiki Nilai Optimum (maksimum dan minimum) yang diperoleh dari fungsi sasaran atau fungsi objektif.

Dalam mencari nilai optimum bentuk objektif dari himpunan penyelesaian selain dengan menggunakan metode titik pojok dapat juga dicari dengan garis selidik. 

Langkah-Langkah Mencari Nilai Optimum Dengan Menggunakan Garis Selidik

1. Buatlah garis ax + by = k, dimana ax + by merupakan bentuk obektif yang dicari nilai optimumnya. Untuk mempermudah ambil k = ab 
2. Buatlah garis-gairs sejajar ax + by = k, yaitu dengan cara mengambil k yang berbeda atau menggeser garis ax + by = k, ke kiri atau ke kanan.
   – Jika ax + by = k_1, adalah garis paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian yang melalui titik (x_1, y_1,),  k₁ =  ax₁ +  by₁ maka merupakan nilai minimum
   – Jika ax + by = k_2, adalah garis paling kanan pada daerah himpunan penyelesaian yang melalui titik (x_2, y_2,),  k₁ =  ax₂ +  by₂ maka merupakan nilai maksimum.

Contoh :
Dengan menggunakan garis selidik tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif  Z = 2x + 3y pada daerah feaasible yang ditunjukan pada gambar dibawah ini :

Jawab :
Untuk memnentukan maksimum dan minimum, yang pertama dilakukan adalah dengan membuat persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui yaitu 2x + 3y = 6, dan kita namai dengan garis g.
perhatikan gambar dibawah ini :

perhatikan gambar diatas !
geserlah garis g sehingga memotong daerah feasible di titik yang paling kiri, yaitu garis g₁ , yang merupakan garis yang seajar dengan g dan tepat melalui titik (1,2). Dengan demikian nilai minimum Z adalah k₁ = 2(1) + 3(2) = 8, sedangkan garis g₂ merupakan garis yang paling kanan dan tepat melalui titik (5,4). Dengan demikian nilai maksimum Z adalah k₂ = 2(5) + 3(4) = 22.